مساحات السطوح والحجوم نسخة معاد تصميمها · تفاعلية

الوحدة الخامسة — اكتشف القوانين بنفسك: افتح المخروط، وضع الكرة في الأسطوانة
🥧 الدرس 1

طول القوس ومساحة القطاع

القطاع جزء من الدائرة تحدّه زاويةٌ عند المركز وقوس. الفكرة الأساسية: القطاع نسبته من الدائرة كنسبة زاويته من الدورة الكاملة θ / 360. 🌍 نق = r ، الزاوية θ

اكتشف بنفسك: حرّك الزاوية θ ونصف القطر نق. لاحظ أنّ طول القوس ومساحة القطاع هما دائمًا الكسر θ/360 من محيط الدائرة ومساحتها.
🔺 الدرس 2

الهرم: المساحة السطحية والحجم

الهرم قاعدته مضلّع وأوجهه الجانبية مثلّثات تلتقي عند رأس الهرم. لإيجاد مساحته نفرد سطحه إلى شبكة: قاعدة + مثلّثات.

اكتشف بنفسك: اضغط «افرد الشبكة» لترى الهرم يتحوّل إلى قاعدة مربّعة + 4 مثلّثات. المساحة الكلّية = مساحة القاعدة + مساحة المثلّثات الأربعة.
🍦 الدرس 3 · الاشتقاق البصري

المخروط: من أين جاء القانون πنق ل؟

سطح المخروط المنحني ليس شكلًا غامضًا — إنّه قطاع دائري ملفوف. لو فتحناه لاستوى!

افتح المخروط بنفسك: حرّك منزلق «الفتح». سترى السطح المنحني يستوي إلى قطاع نصف قطره الراسم ل وطول قوسه = محيط القاعدة = 2πنق. ومساحة هذا القطاع هي π نق ل — وهذا هو قانون المساحة المنحنية.
اكتشفت: المساحة المنحنية = π نق ل · المساحة الكلّية = π نق ل + π نق² · الحجم = (1/3) π نق² هـ
🔵 الدرس 4 · الاشتقاق البصري

الكرة داخل الأسطوانة

ضع كرة نصف قطرها نق داخل أسطوانة نصف قطرها نق وارتفاعها 2نق (أصغر أسطوانة تحيط بها). العلاقة بينهما تكشف قانونَي الكرة.

اكتشف بنفسك: السطح المنحني للأسطوانة = 2π نق × 2نق = 4π نق² — وهو نفسه مساحة سطح الكرة! والكرة تشغل ثلثَي حجم الأسطوانة، ومنه حجمها (4/3)π نق³. اضغط «املأ» لترى نسبة الثلثين.